Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x＞m}\\{{x}^{2}+4x+2，x≤m}\end{array}\right.$若函數(shù)g（x）=f（x）-x有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，2）．

Answer 1

分析 由題意可得直線(xiàn)y=x和直線(xiàn)y=2有交點(diǎn)，且y=x²+4x+2的圖象和直線(xiàn)y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，即必須使函數(shù)y=2-x有零點(diǎn)，并且函數(shù)y=x²+3x+2=（x+1）（x+2）有兩個(gè)零點(diǎn)，從而得到m的范圍．

解答 解：由題意可得函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x＞m}\\{{x}^{2}+4x+2，x≤m}\end{array}\right.$若它的圖象和直線(xiàn)y=x有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
即直線(xiàn)y=x和直線(xiàn)y=2有交點(diǎn)，且y=x²+4x+2的圖象和直線(xiàn)y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，
即必須使函數(shù)y=2-x有零點(diǎn)，并且函數(shù)y=x²+3x+2=（x+1）（x+2）有兩個(gè)零點(diǎn)，從而得到m＜2并且m≥-1，
故答案為：[-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．