【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，求的單調區(qū)間；

（2）當時，記的最小值為，求證：.

【答案】(1) 函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．(2) 見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)求導，代入參數(shù)a的值，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）通過對函數(shù)求導研究函數(shù)的單調性得到，，由得：

，構造函數(shù)，對函數(shù)求導可得到函數(shù)的最值.

（Ⅰ）的定義域是，

.

當時，，

因為函數(shù)，單調遞增，且，

所以：當時，，

當時，，

所以：函數(shù)的單調遞減區(qū)間為：，單調遞增區(qū)間為：；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得的定義域是，

，

令，則，

在上單調遞增，

因為，

所以，，

故存在，使得，

當時，，故，單調遞減；

當時，，故，單調遞增；

故時，取得最小值，

即，

由得：

，

令，，則

，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

故，即時，取最大值1，

故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，其中a＞1．

（1）求實數(shù)m的值；

（2）討論函數(shù)f（x）的增減性；

（3）當時，f（x）的值域是（1，＋∞），求n與a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的奇函數(shù)，當時，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）畫出函數(shù)在上的圖象；

（3）解關于的不等式（其中）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，直線．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）求證：對于任意，直線都不是曲線的切線；

（Ⅲ）試確定曲線與直線的交點個數(shù)，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知， ， 均為正實數(shù)，且，求證 .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線 (a>0，b>0)的左焦點為F(－c，0)(c>0)，過點F作圓x2＋y2＝的一條切線交圓于點E，交雙曲線右支于點P，若，則雙曲線的離心率為(　　)

A. B.

C. D. 2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知不等式ax2-5x+b＞0的解是-3＜x＜2，設A={x|bx2-5x+a＞0}，B={x|}．

（1）求a，b的值；

（2）求A∩B和A∪（UB）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)有兩個零點-3和1，且有最小值-4.

（1）求的解析式；

（2）寫出函數(shù)單調區(qū)間；

（3）令，若，證明：在上有唯一零點.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案