設(shè)函數(shù)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期為
3

(1)求ω的值;
(2)當(dāng)x∈[0,
π
6
]
時(shí),求f(x)的最值.
(3)若函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象向右平移
π
2
個(gè)單位長(zhǎng)度得到,求y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.
分析:(1)通過(guò)三角函數(shù)的基本關(guān)系式與二倍角公式,把函數(shù)化簡(jiǎn)為 一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,通過(guò)周期求出ω的值.
(2)當(dāng)x∈[0,
π
6
]
時(shí),3x+
π
4
∈[
π
4
,
4
]
,然后求出f(x)的最值.
(3)由y=f(x)的圖象向右平移
π
2
個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=g(x)的表達(dá)式,利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
解答:解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx
=
2
sin(2ωx+
π
4
)+2
,
它的最小正周期為
3

2ω=
3
=3
,
所以ω=
3
2
…(4分)
(2)因?yàn)?span id="7d5ptbb" class="MathJye">x∈[0,
π
6
]
所以3x+
π
4
∈[
π
4
,
4
]
…(5分)
sin(3x+
π
4
)∈[
2
2
,1]
…(6分)
當(dāng)3x+
π
4
=
π
2
,即x=
π
12
時(shí),ymax=2+
2
,
當(dāng)3x+
π
4
=
π
4
4
,即x=0或
π
6
時(shí),ymin=3…(8分)
(3)f(x)=
2
sin(2ωx+
π
4
)+2
,
的圖象向右平移
π
2
個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)=
2
sin(3x-
4
)+2
…(10分)
2kπ-
π
2
≤3x-
4
≤2kπ+
π
2
,k∈Z

單調(diào)增區(qū)間是[
3
+
π
4
,
3
+
7
12
],k∈Z
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,周期的應(yīng)用,三角函數(shù)的最值,單調(diào)增區(qū)間的求法,考查計(jì)算能力,?碱}型.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+bx2+cx(a<b<c),其圖象在點(diǎn)A(1,f(1)),B(m,f(m))處的切線的斜率分別為0,-a.
(1)求證:0≤
b
a
<1

(2)若函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[s,t],求|s-t|的取值范圍;
(3)若當(dāng)x≥k時(shí)(k是與a,b,c無(wú)關(guān)的常數(shù)),恒有f′(x)+a<0,試求k的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
ax2+bx+c
(a<0)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳.
(1)若a=-1,b=2,c=3,則D=
[-1,3]
[-1,3]
,A=
[0,+∞)
[0,+∞)
;
(2)若所有點(diǎn)(s,t)(s∈D,t∈A)構(gòu)成正方形區(qū)域,則a的值為
-4
-4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ex,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)=f(x)-ex的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))(其中x0<0)處的切線為l,l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S,求S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(1+x)有兩個(gè)極值點(diǎn)s,t,且s<t.
(1)求a的取值范圍,并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:f(t)>
1-2ln24

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=asin2x-bsin2x+c(x∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1),且f(x)的最大值是2,最小值為-2,其中a>0.
(1)求f(x)表達(dá)式;
(2)若射線y=2(x≥0)與f(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由小到大依次為x1,x2,x3,…,xn,…求|xn+2-x2|的值,并求S=x1+x2+…+x10的值.

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