Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c．若b²=ac，求y=

1+sin2B

sinB+cosB

的取值范圍．

Answer 1

分析：由a、b及c依次成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到b²=ac，然后根據(jù)余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入后化簡(jiǎn)，利用基本不等式即可求出cosB大于等于

1

2

，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B的范圍，把所求的式子的分子中的“1”變?yōu)閟in²B+cos²B，sin2B利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，分子剛好為一個(gè)完全平方式，與分母約分后得到sinB+cosB，然后提取

2

，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角（B+

π

4

）的正弦函數(shù)，根據(jù)B的范圍，求出B+

π

4

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域及圖象，得到sin（B+

π

4

）的范圍，進(jìn)而得到y(tǒng)的范圍．

解答：解：∵b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

1

2

（

a

c

+

c

a

）-

1

2

≥

1

2

．
∴0＜B≤

π

3

，
y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）．
∵

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，
∴

2

2

＜sin（B+

π

4

）≤1．
故1＜y≤

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及正弦函數(shù)的值域，靈活運(yùn)用余弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．