Question

4．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD上一點(diǎn)，且DE=$\frac{1}{4}$OD，AE的延長(zhǎng)線交CD于F，若$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow a，\overrightarrow{BD}=\overrightarrow b$，則$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{3}{7}\overrightarrow a+\frac{4}{7}\overrightarrow b$
• B． $\frac{3}{7}\overrightarrow a-\frac{4}{7}\overrightarrow b$
• C． $\frac{4}{7}\overrightarrow a+\frac{3}{7}\overrightarrow b$
• D． $\frac{4}{7}\overrightarrow a-\frac{3}{7}\overrightarrow b$

Answer 1

分析 根據(jù)兩個(gè)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，得到DF與FC之比，做FG平行BD交AC于點(diǎn)G，使用已知向量表示出要求的向量，得到結(jié)果．

解答 解：DF：BA═DE：BE=1：7；
作FG平行BD交AC于點(diǎn)G，
∴FG：DO=6：7，CG：CO=6：7，
∴$\overrightarrow{GF}$=$\frac{6}{14}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{6}{14}$$\overrightarrow$=$\frac{3}{7}$$\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{14}$$\overrightarrow{a}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{GF}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow$，
故答案為：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加減運(yùn)算，考查相似三角性質(zhì)的應(yīng)用，考試數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題．