Question

已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F（，0），
一條漸近線的方程為，點P為雙曲線上不同于A、B的任意一點，過P作x軸的垂線交雙曲線于另一點Q．
（I）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求直線AP與直線BQ的交點M的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過點N（l，0）作直線l與（Ⅱ）中軌跡E交于不同兩點R、S，已知點T（2，0），設的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用雙曲線的右焦點為F（，0），一條漸近線的方程為，結合c²=a²+b²，可求雙曲線C的方程；（Ⅱ）由A，M，P三點共線、B，M，Q三點共線，確定坐標之間的關系，利用雙曲線方程，可得直線AP與直線BQ的交點M的軌跡E的方程；
（Ⅲ）①若直線l的斜率為0，不滿足；
②當直線l的斜率不為0時，設方程為x=ty+1，代入，利用韋達定理，及，=[t（y₁+y₂）-2]²+（y₁+y₂）²=16-+，即可求得結論．
解答：解：（I）∵雙曲線的右焦點為F（，0），一條漸近線的方程為，
∴c=，
∵c²=a²+b²，∴a=，b=1
∴雙曲線C的方程為；
（Ⅱ）設P（x，y），Q（x，-y），M（x，y），A（-，B（
由A，M，P三點共線得：（x+）y=y（x+）
由B，M，Q三點共線得：（x-）y=-y（x-）
∴
∵
∴
∴直線AP與直線BQ的交點M的軌跡E的方程為；
（Ⅲ）①若直線l的斜率為0，則R（-，0），S（，0），N（1，0），
∴，
∴
②當直線l的斜率不為0時，設方程為x=ty+1，代入，可得（t²+2）y²+2ty-1=0
設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）（y₁≠0，y₂≠0），則y₁+y₂=-，y₁y₂=-
∵，∴y₁=λy₂，∴λ=，λ＜0
∴+2=+2==-
∵λ∈[-2，-1]
∴
∴-≤-≤0
∴0≤t²≤
∴=[t（y₁+y₂）-2]²+（y₁+y₂）²=16-+
令n=，則n∈[]
∴=8n²-28n+16=8（n-）²-
∴n=時，_min=4；n=時，=
∴∈[2，]．
點評：本題考查雙曲線的方程，考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，綜合性強．