Question

已知f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若f（

A

2

+

π

8

）=

3 2

5

，且A∈（

π

2

，π），求cos2A和tan2A的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,二倍角的正弦,二倍角的余弦,二倍角的正切

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），可得它的最小正周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）由條件求得 sinA=

3

5

，可得cosA=-

4

5

、tanA的值，進而利用二倍角公式求得cos2A和tan2A的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
故它的周期為

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈z．
（2）∵f（

A

2

+

π

8

）=

2

sinA=

3 2

5

，且A∈（

π

2

，π），∴sinA=

3

5

，cosA=-

4

5

，tanA=

sinA

cosA

=-

3

4

，
∴cos2A=2cos²A-1=

7

25

 tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-

24

7

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，二倍角公式的應用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)的基本關系，屬于中檔題．