Question

14．對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，定義a*b=λ×$\frac{a}$．其中常數(shù)λ∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），“×”是通常的實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，若a≥b＞0，a*b與b*a都是集合{x|x=$\frac{n}{2}$，n∈Z}中的元素，則a*b=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可知$b*a=λ×\frac{a}$，而根據(jù)a≥b＞0及$λ∈（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$即可求出$0＜λ×\frac{a}＜1$，而b*a，a*b都是集合$\{x|x=\frac{n}{2}，n∈Z\}$的元素，從而得出$λ×\frac{a}=\frac{1}{2}$，進(jìn)而求出$\frac{a}=2λ$，從而得出a*b=2λ²，這樣根據(jù)2λ²的范圍即可得出a*b的值．

解答 解：$a*b=λ×\frac{a}，b*a=λ×\frac{a}$；
∵a≥b＞0，$λ∈（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$；
∴$0＜\frac{a}≤1，\frac{\sqrt{2}}{2}＜λ＜1$；
∴$0＜λ×\frac{a}＜1$；
又a*b，b*a都是集合$\{x|x=\frac{n}{2}，n∈Z\}$的元素；
∴$λ×\frac{a}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{a}=2λ$；
∴a*b=2λ²，且1＜2λ²＜2；
∴$a*b=\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)新定義a*b的理解，描述法表示集合，元素與集合的關(guān)系，以及不等式的性質(zhì)．