Question

在直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知圓C的圓心的極坐標(biāo)C(1，

π

2

)，半徑r=1，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．
（1）求圓的極坐標(biāo)方程，并將極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，并判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓C上任意一點(diǎn)為M（ρ，θ），A(2，

π

2

)．如圖所示，利用切線的性質(zhì)可得∠OAM=θ．在Rt△OMA中，OA=2，利用直角三角形的邊角關(guān)系MO=AOsinθ．即可得出．
（2）兩式相減即可消去參數(shù)t可得直線l的普通方程，由于直線l過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)即可得到直線與圓的位置關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)圓C上任意一點(diǎn)為M（ρ，θ），A(2，

π

2

)．如圖所示，
在Rt△OMA中，OA=2，由MO=AOsinθ得ρ=2sinθ．
化為直角坐標(biāo)方程x²+（y-1）²=1．（或x²+y²-2y=0．）
（2）由直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．消去參數(shù)t可得x-1=y-2，得直線l的普通方程x-y+1=0．
∵圓心C（0，1）滿(mǎn)足直線l的方程，
∴直線與圓C相交．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線圓相切的性質(zhì)、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的公式、直線與圓的位置公式的判定方法等是解題的關(guān)鍵．