定義:若對于給定區(qū)間D內(nèi)任意的實數(shù)x1和x2,都有f()≥［f(x1)+f(x2)］,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的上凸函數(shù).上凸函數(shù)有如下的性質(zhì):

若在上凸函數(shù)f(x)的圖象上依次取n個(n≥3)點P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),則凸n邊到P1P2P3…Pn的重心G()必在函數(shù)y=f(x)的圖象下方或圖象上.

運用上述定義或性質(zhì)證明.

(1)f(x)=lgx在區(qū)間(0,+∞)上是上凸函數(shù);

(2)設x1,x2,…,xn為正實數(shù),則.

解析：第(1)小題可根據(jù)上凸函數(shù)的定義證明;?第(2)?小題需要先構(gòu)造一個上凸函數(shù)〔可利用第(1)小題的結(jié)論〕,然后再根據(jù)上凸函數(shù)的性質(zhì)加以證明.

證明：(1)設x1,x2,…,xn為正實數(shù),則

f()［f(x1)+f(x2)］=lg (lgx1+lgx2)=lg=lg.

∵x1,x2,…,xn為正實數(shù),

∴x1+x2≥,即≥1.

又y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴l(xiāng)g()≥0.

∴f()≥［f(x1)+f(x2)］.

根據(jù)定義,函數(shù)y=lgx是區(qū)間(0,+∞)上的上凸函數(shù).

(2)由(1)知,f(x)=lgx在區(qū)間(0,+∞)上是上凸函數(shù).

設P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)依次是上凸函數(shù)y=lgx上的n個(n≥3)點,根據(jù)上凸函數(shù)的性質(zhì),有

［f(x1)+f(x2)+…+f(xn)］,

即lg(x1x2…xn),

亦即.

∵y=lgx在(0,+∞)上是增函數(shù),∴.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在區(qū)間[m，n]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在[m，n]上是“友好”的，否則稱“不友好”的．現(xiàn)在有兩個函數(shù)f（x）=loga（x-3a）與g(x)=loga
1x-a
（a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否“友好”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）在R上有定義，對于給定的正數(shù)M，定義函數(shù)fM（x）=
f(x)，f(x)≥M
M，f(x)＜M
，若給定函數(shù)f（x）=ex-1，當M=1時，fM（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

定義：若對于給定區(qū)間D內(nèi)任意的實數(shù)x1和x2都有f()≥[f(x1)+f(x2)]，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的上凸函數(shù)。上凸函數(shù)有如下的性質(zhì)：

若在上凸函數(shù)f(x)的圖象上依次取n個(n≥3)點P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），則凸n邊到P1P2P3…Pn的生心G（，）必在函數(shù)y=f(x)的圖象下方或圖象上。

運用上述定義或性質(zhì)證明。

（1）f(x)=lgx在區(qū)間（0，+∞）上是上凸函數(shù)；

（2）設x1，x2，…，xn為正實數(shù)，則≥。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

定義：若對于給定區(qū)間D內(nèi)任意的實數(shù)x1和x2都有f()≥[f(x1)+f(x2)]，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的上凸函數(shù)。上凸函數(shù)有如下的性質(zhì)：

若在上凸函數(shù)f(x)的圖象上依次取n個(n≥3)點P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），則凸n邊到P1P2P3…Pn的生心G（，）必在函數(shù)y=f(x)的圖象下方或圖象上。

運用上述定義或性質(zhì)證明。

（1）f(x)=lgx在區(qū)間（0，+∞）上是上凸函數(shù)；

（2）設x1，x2，…，xn為正實數(shù)，則≥。

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