Question

5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，A是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)E，過⊙O上點(diǎn)B的切線與CA的延長線交于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：BE=BF；
（Ⅱ）若BE=5，AF=2，求CE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用圓的弦切角定理和三角形全等的判定和性質(zhì)定理，即可得證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合圓的切割線定理可得，BF²=AF•CF=AF•（2AF+CE），計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）證明：A是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)，可得弧AB的長等于弧AD的長，
即AB=AD，可得∠ABD=∠ADB，
由BF為圓的切線，可得∠FBA=∠ADB，
即∠FBA=∠ABD，
又BC為直徑，可得AB⊥EF，
可得△BEA≌△BFA，
可得BE=BF；
（Ⅱ）由BE=5，AF=2，
可得BF=5，AE=AF=2，
由圓的切割線定理可得，BF²=AF•CF=AF•（2AF+CE），
即有25=2（4+CE），
解得CE=$\frac{17}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切割線定理和弦切角定理、直徑所對(duì)的圓周角為直角的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．