Question

（本小題滿分14分）已知A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2，D是AB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q，

① 當(dāng)|PQ|＝3時(shí)，求直線l的方程；

② 試問在x軸上是否存在點(diǎn)E(m,0)，使·恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）x2+y2=3；（Ⅱ）﹣2 .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)，然后根據(jù)線段AB的長(zhǎng)為，D是AB的中點(diǎn)消去a與b，得到x與y的等量關(guān)系，即為動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；

（Ⅱ）①討論直線l與x軸是否垂直，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式關(guān)系，從而求出直線方程；

②討論直線l的斜率是否存在，不存在時(shí)直接求，存在時(shí)，將直線與圓聯(lián)立方程組，消去y，然后設(shè)，將表示出來，使其與k無關(guān)即可求出m的值．

試題解析：

【解析】
（Ⅰ）設(shè)，

∵D是AB的中點(diǎn)，∴x=，y=，

∵|AB|=，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，

∴（2y）2+（2x）2=12，∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x2+y2=3．

（Ⅱ）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，P（1，），Q（1，﹣），此時(shí)|PQ|=2，不符合題意；

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為，

由=，解得k=±．故直線l的方程為y=±（x﹣1）．

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x﹣1），

由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，

設(shè)則由韋達(dá)定理得，，

則， ，

∴

要使上式為定值須，解得m=1，∴為定值﹣2，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P（1，），Q（1，﹣），

由E（1，0）可得=（0，﹣），=（0，），

∴=﹣2，

綜上所述當(dāng)E（1，0）時(shí)，為定值﹣2．

考點(diǎn)：①向量在幾何中的應(yīng)用；②軌跡問題和直線和圓的方程的應(yīng)用；③轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力.