Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F$（-\sqrt{2}，0）$，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，M、N是橢圓上的動點．
（Ⅰ）求橢圓標準方程；
（Ⅱ）設動點P滿足：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，直線OM與ON的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，問：是否存在定點F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？若存在，求出F₁，F(xiàn)₂的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=$\sqrt{2}$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=2，b²=a²-c²=2，即可求得橢圓標準方程；
（Ⅱ）設出P，M，N的坐標，根據(jù)題設等式建立等式，把M，N代入橢圓方程，整理求得x²+2y²20+4（x₁x₂+2y₁y₂），設出直線OM，ON的斜率，利用題意可求得x₁x₂+2y₁y₂=0，進而求得x²+2y²的值，利用橢圓的定義可推斷出|PF₁|+|PF₂|為定值求得c，則兩焦點坐標可得．

解答 解：（Ⅰ）橢圓橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，左焦點為F$（-\sqrt{2}，0）$，即c=$\sqrt{2}$，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=2，
b²=a²-c²=2，
∴橢圓標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）設P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，即（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M、N是橢圓上的點，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
∴x²+2y²=（x₁²+4x₂²+4x₁x₂）+2（y₁²+4y₂²+4y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂），
設k_0M，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k_0Mk_ON=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，
∴P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$上；
設該橢圓的左，右焦點為F₁，F(xiàn)₂，由橢圓的定義可推斷出|PF₁|+|PF₂|為定值，
由c=$\sqrt{10}$，則這兩個焦點坐標是（-$\sqrt{10}$，0）（$\sqrt{10}$，0）
存在定點F₁（-$\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{10}$，0），使得|PF₁|+|PF₂|為定值．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查向量數(shù)量積的坐標運算，直線的斜率公式，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．