Question

某品牌電視機(jī)代理銷售商根據(jù)近年銷售和利潤情況得出某種型號(hào)電視機(jī)的利潤情況有如下規(guī)律：每臺(tái)電視機(jī)的最終銷售利潤與其無故障使用時(shí)間T（單位：年）有關(guān)．若T≤1，則每臺(tái)銷售利潤為0元；若1＜T≤3，則每臺(tái)銷售利潤為100元；若T＞3，則每臺(tái)銷售利潤為200元．設(shè)每臺(tái)該種電視機(jī)的無故障使用時(shí)間T≤1，1＜T≤3，T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別為P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程10x²-6x+a=0的兩個(gè)根，且P₂=P₃．
（Ⅰ）求P₁，P₂，P₃的值；
（Ⅱ）記ξ表示銷售兩臺(tái)這種電視機(jī)的銷售利潤總和，寫出ξ的所有結(jié)果，并求ξ的分布列；
（Ⅲ）求銷售兩臺(tái)這種型號(hào)電視機(jī)的銷售利潤總和的期望值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出p₁+p₂=

3

5

，P₁+P₂+P₃=1，且P₂=P₃，由此能求出P₁，P₂，P₃的值．
（Ⅱ）ξ的取值有0，100，200，300，400，分別求P（ξ=0），P（ξ=100），P（ξ=200），P（ξ=300），P（ξ=400），由此能求出ξ的分布列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）能求出銷售兩臺(tái)這種型號(hào)電視機(jī)的銷售利潤總和的期望值Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）∵p₁，p₂是方程10x²-6x+a=0的兩個(gè)根，∴p₁+p₂=

3

5

，
又∵P₁+P₂+P₃=1，且P₂=P₃，
∴p1 =

1

5

，p2=p3=

2

5

．
（Ⅱ）記一臺(tái)該種電視機(jī)的無故障使用時(shí)間T≤1，1＜T≤3，T＞3分別為事件A₁，A₂，A₃，
ξ的取值有0，100，200，300，400，
P（ξ=0）=P（A₁A₁）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
P（ξ=100）=P（A₁A₂∪A₂A₁）=

1

5

×

2

5

+

2

5

×

1

5

=

4

25

，
P（ξ=200）=P（A₂A₂+A₃A₁+A₁A₃）
=

2

5

×

2

5

+

1

5

×

2

5

+

2

5

×

1

5

=

8

25

，
P（ξ=300）=P（A₁A₃+A₃A₁）=

2

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=400）=P（A₃A₃）=

2

5

×

2

5

=

4

25

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	100	200	300	400
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
Eξ=0×

1

25

+100×

4

25

+200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240．
∴銷售兩臺(tái)這種型號(hào)電視機(jī)的銷售利潤總和的期望值240．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．