Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（{cosx，-$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，sinx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=$\frac{5}{6}$，$θ∈（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}），求sin2θ$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+1．求解f（x）的解析式，化解為y=Acos（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到余弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)f（θ）=$\frac{5}{6}$建立關(guān)系，利用構(gòu)造思想，根據(jù)和與差的公式計(jì)算．

解答 解：（Ⅰ）由題意函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+1．
可得：f（x）=cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+1=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$，
令$π+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+2π$，可得$kπ+\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}+kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ+\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）由f（θ）=$\frac{5}{6}$，即cos（2θ+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{6}$，
可得：cos（2θ+$\frac{π}{3}$）=$-\frac{2}{3}$，
∵θ∈[$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，
∴2θ+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{5π}{3}$]，
∴sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$-\frac{\sqrt{5}}{3}$，
那么：sin2θ=sin[（2θ$+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（2θ+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．