Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

．
（1）當(dāng) 0≤x≤

π

2

時(shí)，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）當(dāng)M（a）=2時(shí)，求a的值，并對(duì)此a值求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用cos²x=1-sin²x，將函數(shù)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為

a

2

，進(jìn)行分類求解．
（2）M（a）=2時(shí)，利用（1）求出a，繼而確定函數(shù)解析式，求最小值．

解答：解：（1）f（x）=1-sin²x+asinx-

a

4

-

1

2

=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

-

a

4

+

1

2

當(dāng) 0≤x≤

π

2

時(shí)，0≤sinx≤1．
當(dāng)

a

2

≤0時(shí)，即a≤0時(shí)，在sinx=0取最大值，M（a）=-

a

4

+

1

2

當(dāng)0＜

a

2

＜1時(shí)，即0＜a＜2時(shí)，在sinx=

a

2

取最大值，M（a）=

a2

4

-

a

4

+

1

2

當(dāng)1≤

a

2

＜1時(shí)，即a≥2時(shí)，在sinx=取最大值，M（a）=

3a

4

-

1

2

綜上所述M（a）=

- a 4 + 1 2 a≤0 a2 4 - a 4 + 1 2 0＜a＜2 3a 4 - 1 2 a≥2

（2）M（a）=2時(shí)，由（1）解得a=-6或a=

10

3

當(dāng)a=-6時(shí)，f（x）=-（sinx+3）²+11，f（x）min=-5．
當(dāng)a=

10

3

時(shí)，f（x）=-（sinx-

5

3

）²+

22

9

，f（x）min=-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，分類討論思想，方程思想．屬于中檔題．