Question

設(shè) 圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為．

（1）用表示和

（2）若數(shù)列滿足

（1）求常數(shù)的值，使得數(shù)列成等比數(shù)列；

（2）比較與的大�。�

 

Answer 1

（1），；（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列成公比為4的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列成公比為2的等比數(shù)列．．

【解析】

試題分析：本題主要考查曲線與圓相交問題、直線的方程、等比數(shù)列的證明、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，點(diǎn)N代入到曲線和圓中，聯(lián)立得到，由于直線MN過M、A點(diǎn)，從而得到直線MN的方程，N點(diǎn)也在MN上，代入MN方程中，經(jīng)整理得到的表達(dá)式；第二問，（�。├�用等比數(shù)列的定義知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，經(jīng)過化簡得，利用的通項(xiàng)公式和為等比數(shù)列列出2個(gè)關(guān)系式，利用2個(gè)式子是q倍的關(guān)系，解出p和q的值；（ⅱ）利用可以猜想，即需要證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定，即，所以．

試題解析：（1）與圓交于點(diǎn)，則，即．由題可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而直線的方程為，由點(diǎn)在直線上得，將，代入，

得 ,

即 4分

（2）由知，為等比數(shù)列，由， 知，公比為4，故，所以 5分

（1）

令得

由等式

對于任意成立，得

解得或 8分

故當(dāng)時(shí)，數(shù)列成公比為4的等比數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，數(shù)列成公比為2的等比數(shù)列． 9分

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 事實(shí)上，令，則 故

是增函數(shù)，所以，即

即 ． 14分

考點(diǎn)：曲線與圓相交問題、直線的方程、等比數(shù)列的證明、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．