Question

5．某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠，擬在2017年度進(jìn)行系列促銷活動．經(jīng)市場調(diào)查和測算，該紀(jì)念品的年銷售量x（單位：萬件）與年促銷費(fèi)用t（單位：萬元）之間滿足3-x與t+1成反比例（若不搞促銷活動，紀(jì)念品的年銷售量只有1萬件）；已知工廠2017年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件紀(jì)念品另外需要投資32萬元．當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價(jià)定為“年平均每件生產(chǎn)成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費(fèi)的一半”之和時(shí)，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等．（利潤=收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)用）；
（1）請把該工廠2017年的年利潤y（單位：萬元）表示成促銷費(fèi)t（單位：萬元）的函數(shù)；
（2）試問：當(dāng)2017的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，該工廠的年利潤最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)3-x與t+1成反比例，當(dāng)年促銷費(fèi)用t=0萬元時(shí)，年銷量是1萬件，可求出k的值；進(jìn)而通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)反比例系數(shù)為k（k≠0），有$3-x=\frac{k}{t+1}$
因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)x=1，代入得k=2，所以$x=3-\frac{2}{t+1}（{t≥0}）$；
易得：$y=x•（{\frac{3+32x}{x}•1.5+\frac{t}{2x}}）-（{3+32x}）-t$，
化簡得：$y=\frac{99}{2}-\frac{32}{t+1}-\frac{t}{2}（{t≥0}）$；
（2）$y=50-（{\frac{32}{t+1}+\frac{t+1}{2}}）≤50-2\sqrt{\frac{32}{t+1}•\frac{t+1}{2}}=42$，當(dāng)且僅當(dāng)t=7時(shí)取等號；
所以，當(dāng)2017年的促銷費(fèi)投入7萬元時(shí)，工廠的年利潤最大為42萬元．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．