Question

已知x＞a＞0，求證：x³+13a²x＞5ax²+9a³．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：方法一：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-5ax²+13a²x-9a³（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性證明；
方法二：運(yùn)用作差法證明，運(yùn)用因式分解，將9a³拆成a³+13a³-5a³，提取公因式x-a，對(duì)括號(hào)里的化簡(jiǎn)配方，證到大于0即可．

解答： 證法一：（函數(shù)單調(diào)性法）
設(shè)f（x）=x³-5ax²+13a²x-9a³（x＞0），
則導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x²-10ax+13a²，
=3（x-

5

3

a）²+

14

3

a²，
即對(duì)x＞a＞0時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在x＞0上是增函數(shù)，
∵x＞a＞0，∴f（x）＞f（a），
∵f（a）=a³-5a³+13a³-9a³=0，
∴f（x）＞0，原不等式成立．
證法二：（作差比較法）
∵x³+13a²x-5ax²-9a³=（x³-a³）+（13a²x-13a³）+（5a³-5ax²）
=（x-a）（x²+ax+a²）+13a²（x-a）-5a（x-a）（x+a）
=（x-a）[x²+ax+a²+13a²-5a（x+a）]
=（x-a）（x²-4ax+9a²）
=（x-a）[（x-2a）²+5a²]，
又x＞a＞0，∴x-a＞0，（x-2a）²+5a²＞0，
∴x³+13a²x-5ax²-9a³＞0，
∴x³+13a²x＞5ax²+9a³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明方法，作差法證明是最基本的方法，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明往往簡(jiǎn)潔，但有時(shí)往往要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一重要工具，應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會(huì)．