Question

6．在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，若a₄+a₃-2a₂-2a₁=6，則a₅+a₆的最小值為48．

Answer 1

分析 設(shè) a₂+a₁=x，等比數(shù)列的公比為q，則a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴，由此推導(dǎo)出a₅+a₆ =6（ q²-2+$\frac{4}{{q}^{2}-2}$+4 ），由此利用均值定理能求出a₅+a₆的最小值．

解答 解：設(shè) a₂+a₁=x，等比數(shù)列的公比為q，則a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴．
再由a₄+a₃-2a₂-2a₁=6，
得 xq²=6+2x，∴x=$\frac{6}{{q}^{2}-2}$＞0，q＞1．
∴a₅+a₆ =xq⁴ =$\frac{6{q}^{4}}{{q}^{2}-2}$
=6•$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-2}$=6（ q²+2+$\frac{4}{{q}^{2}-2}$）=6（ q²-2+$\frac{4}{{q}^{2}-2}$+4 ）≥6（4+4）=48，
當(dāng)且僅當(dāng)q²-2=2時(shí)，等號(hào)成立，
故a₅+a₆的最小值為48．
故答案為：48．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、均值定理的合理運(yùn)用．