Question

（2013•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到f(

π

3

)，利用倍角公式和兩角和差的正弦公式和周期公式即可得出；
（II）由x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，得到(2x+

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到最值．

解答：解：（I）f(

π

3

)=2-(

3

×

3

2

-

1

2

)2=2-1=1．
∵函數(shù)f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²
=2-(3sin2x+cos2x-2

3

sinxcosx)
=2-（1+2sin2x-

3

sin2x)
=1-2sin2x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)
=2sin(2x+

π

6

)
∴函數(shù)f（x）的周期為T=

2π

2

=π．
（II）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，(2x+

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以當(dāng)x=-

π

6

時(shí)，函數(shù)取得最小值f(-

π

6

)=-1；
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，函數(shù)取得最大值f(

π

6

)=2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值、倍角公式和兩角和差的正弦公式和周期公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．