Question

17．2015年10月青島大排檔宰客一只大蝦賣38元，被網(wǎng)友稱為“天價(jià)大蝦”，為了弄清楚大蝦的實(shí)際價(jià)格與利潤(rùn)，記者調(diào)查了某蝦類養(yǎng)殖戶，在一個(gè)蝦池中養(yǎng)殖一種蝦，每季養(yǎng)殖成本為10000元，此蝦的市場(chǎng)價(jià)格和蝦池的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：

蝦池產(chǎn)量（kg）	300	500
概率	0.5	0.5
蝦的市場(chǎng)價(jià)格（元/（kg）	60	100
概率	0.4	0.6

（1）設(shè) X表示在這個(gè)蝦池養(yǎng)殖1季這種蝦的利潤(rùn)，求 X的分布列和期望；
（2）若在這個(gè)蝦池中連續(xù)3季養(yǎng)殖這種蝦，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于20000元的概率．

Answer 1

分析 （1）由利潤(rùn)=產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格-成本，得X所有可能的取值40000，20000，8000，由此求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
（2）設(shè)C_i表示事件“第i季利潤(rùn)不少于20000元”（i=1，2，3），由題意知C₁，C₂，C₃相互獨(dú)立，由此能求出3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于20000元的概率．

解答 解：（1）因?yàn)槔麧?rùn)=產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格-成本，
所以 X所有可能的取值為500×100-10000=40000，
500×60-10000=20000，300×100-10000=20000，300×60-10000=8000，
P（ X=40000）=0.5×0.6=0.3，
P（ X=20000）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5，
P（ X=8000）=0.5×0.4=0.2，
∴X的分布列為：

X	40000	20000	8000
P	0.3	0.5	0.2

則E（X）=40000×0.3+20000×0.5+8000×0.2=23600
（2）設(shè)C_i表示事件“第i季利潤(rùn)不少于20000元”（i=1，2，3），
由題意知C₁，C₂，C₃相互獨(dú)立，
由（1）知，P（C_i）=P（ X=40000）+P（ X=20000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3）
3季的利潤(rùn)均不少于20000元的概率為${P}（{{C_1}{C_2}{C_3}}）={P}（{C_1}）{P}（{C_2}）{P}（{C_3}）={0.8^3}=0.512$，
3季中有2季利潤(rùn)不少于20000元的概率為$C_3^2×{（{0.8}）^2}×0.2=0.384$，
∴3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于20000元的概率為0.512+0.384=0.896．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．