Question

已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對于任意的，都有，求的取值范圍.

Answer 1

（1）在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）

試題分析：（1）先求導(dǎo)，根據(jù)可得的值。將的值代入導(dǎo)數(shù)解析式并將導(dǎo)數(shù)變形分解因式，討論導(dǎo)數(shù)的正負，導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間。（2）將變形為（注意所以不等式兩邊同除以時不等號應(yīng)改變）。設(shè).將問題轉(zhuǎn)化為時恒成立問題，即。將函數(shù)求導(dǎo)，分析討論導(dǎo)數(shù)的正負，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求其最值。
解：（1） 因為，                                        1分
因為，
所以.                                                    2分
所以.
令，解得.                                   3分
隨著的變化，和的變化情況如下：

即在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.         6分
（2） 因為對于任意的，都有，
即，
所以.                                      8分
設(shè).
因為，                                     9分
又因為，
所以.                                         10分
所以.                                            
所以在上單調(diào)遞增.                                 11分
所以.                                      12分
即.                                                     13分