Question

（2006•宣武區(qū)一模）這份模擬題出了8道選擇題，每題5分，每道題有四個(gè)可供選擇的答案，一個(gè)是正確的，三個(gè)是錯(cuò)誤的，小偉只知道其中6道題的正確答案，其余兩道題完全靠猜測(cè)回答．
（Ⅰ）求小偉選擇題正確答案不少于7個(gè)的概率；
（Ⅱ）設(shè)小偉選擇題得分為ξ，求ξ的概率分布及Eξ．

Answer 1

分析：（I）事件“小偉選擇題正確答案不少于7個(gè)”等價(jià)于“2道猜測(cè)的答案中正確答案至少有1個(gè)”，用1減去它的對(duì)立事件的概率，即得所求．
（II）由題意可得的ξ可能取值分別為30，35，40，再求出ξ取每個(gè)值的概率，即可求得ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望

解答：解：（I）“小偉選擇題正確答案不少于7個(gè)”等價(jià)于“2道猜測(cè)的答案中正確答案至少有1個(gè)”，
∴所求事件的概率為1-(

3

4

)2=

7

16

．…（6分）
（II）由題意可得的ξ可能取值分別為30，35，40，

P(ξ=30)=( 3 4 )2= 9 16 P(ξ=35)= C 1 2 • 1 4 • 3 4 = 3 8 P(ξ=40)=( 1 4 )2= 1 16

∴ξ的概率分布為
∴Eξ=30×

9

16

+35×

3

8

+40×

1

16

=32.5．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用
1減去它的對(duì)立事件概率．離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的定義和求法，屬于中檔題．