Question

10．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距為c，頂點A（a，0）到漸近線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式，求得3ab=$\sqrt{2}$c²，平方，利用雙曲線的離心率公式及a＞b＞0，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由雙曲線的漸近線方程：y=±$\frac{a}$x，則ay±bx=0，
則頂點A（a，0）到漸近線的距離d=$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，則3ab=$\sqrt{2}$c²，
兩邊平方整理得：2c⁴-9a²c²+9a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，則2e⁴-9e²+9=0，解得：e²=3，或e²=$\frac{3}{2}$，
則e=$\sqrt{3}$或e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由a＞b＞0，則$\frac{a}$＜1
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$＜$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的性質，考查點到到直線的公式，雙曲線的漸近線方程及雙曲線離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．