Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+ ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）證明：f（x）＞1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）= + ，
由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+ ，
∵f（x）＞1，∴exlnx+ ＞1，∴l(xiāng)nx＞ ﹣ ，
∴f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣ ，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，
∴當x∈（0， ）時，g′（x）＜0；當x∈（ ，+∞）時，g′（x）＞0．
故g（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（ ）=﹣ ．
設(shè)函數(shù)h（x）=xe﹣x﹣ ，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣ ．
綜上，當x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1
【解析】（Ⅰ）求出定義域，導數(shù)f′（x），根據(jù)題意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣ ，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，函數(shù)h（x）= ，只需證明g（x）min＞h（x）max ， 利用導數(shù)可分別求得g（x）min ， h（x）max；