Question

14．已知集合A={x|x²+2x-3＞0}，集合B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}．
（Ⅰ）若a=1，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)=1代入確定出B，求出A與B的交集即可；
（Ⅱ）由A與B中恰含有一個(gè)整數(shù)，確定出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）A={x|x²+2x-3＞0}={x|x＞1或x＜-3}，
當(dāng)a=1時(shí)，由x²-2x-1≤0，
解得：1-$\sqrt{2}$≤x≤1+$\sqrt{2}$，即B=[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]，
∴A∩B=（1，1+$\sqrt{2}$]；
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）=x²-2ax-1的對(duì)稱軸為x=a＞0，
f（0）=-1＜0，且A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，
∴根據(jù)對(duì)稱性可知這個(gè)整數(shù)為2，
∴f（2）≤0且f（3）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}4-4a-1≤0\\ 9-6a-1＞0\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．