Question

以橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的中心O為圓心，

a2+b2

為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”．設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為P，左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=2，S_△OPQ=

6

2

S_△OFQ．
（Ⅰ）求橢圓ABC及其“準(zhǔn)圓”的方程；
（Ⅱ）若橢圓C的“準(zhǔn)圓”的一條弦ED（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，試證明：當(dāng)OM•ON=0時(shí)，試問弦ED的長是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），由S_△OPQ=

6

2

S_△OFQ利用三角形的面積公式可得

1

2

ab=

6

2

•

1

2

bc，化為a=

6

2

c．由|PQ|=2利用兩點(diǎn)間的距離公式可得

a2+b2

=2，聯(lián)立

a= 6 2 c a2+b2 =2 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）設(shè)直線ED的方程為y=kx+t，與橢圓的交點(diǎn)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，由

OM

•

ON

=0，利用數(shù)量積可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出k與t的關(guān)系式，驗(yàn)證是否滿足△＞0成立．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)O到弦ED的距離d，再利用弦長公式|ED|=2

r2-d2

即可得出．

解答：解：（I）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），
由S_△OPQ=

6

2

S_△OFQ得

1

2

ab=

6

2

•

1

2

bc，化為a=

6

2

c．
由|PQ|=2可得

a2+b2

=2，
聯(lián)立

a= 6 2 c a2+b2 =2 a2=b2+c2

，解得a²=3，b²=1，c²=2．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+y2=1，橢圓C的“準(zhǔn)圓”的方程為x²+y²=4．
（II）設(shè)直線ED的方程為y=kx+t，與橢圓的交點(diǎn)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+t x2 3 +y2=1

，化為（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
∴x1+x2=-

6kt

1+3k2

，x1x2=

3t2-3

1+3k2

，可得y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=

t2-3k2

1+3k2

，
由

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，即

3t2-3

1+3k2

+

t2-3k2

1+3k2

=

4t2-3k2-3

1+3k2

=0，
∴t2=

3

4

(k2+1)，此時(shí)滿足△=36k²t²-4（1+3k²）（3t²-3）=27k²+3＞0成立．
則點(diǎn)O到弦ED的距離d=

|t|

1+k2

=

t2 1+k2

=

3 4

=

3

2

，
∴|ED|=2

4- 3 4

=

13

是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了新定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于難題．