Question

如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為１的正方形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)。
（１）求證；
（２）求異面直線與所成的角的大小；
（３）求面與面所成二面角的大小。
（第18題圖）

Answer 1

見解析

解法一：
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124525864450.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以SC在底面的射影是CD
又因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以，所以…………4分
（2）取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)MP，DP
在中，由中位線得 MP//SB ，所以
是異面直線DM與SB所成的角或其補(bǔ)角，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124526223648.gif" style="vertical-align:middle;" />，又，
所以，因此
所以異面直線DM與SB所成的角為…………9分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124525864450.gif" style="vertical-align:middle;" />，底面ABCD是正方形，
所以可以把四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，
面與面所成二面角就是面與面所成二面角
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124526192321.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以
又，所以為所求的二面角的平面角
在中，由勾股定理得，在，得
所以，即面與面所成二面角為。. …………14分

解法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)锳BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，
所以，，則，，
，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124527580531.gif" style="vertical-align:middle;" />，，則
所以，即…………4分
（2）設(shè)所求的異面直線所成的角為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124527752706.gif" style="vertical-align:middle;" />
所以
故異面直線DM與SB所成的角為…………9分
（3）設(shè)所求二面角的平面角為，由題意可以面ASD的一個(gè)法向量為，設(shè)面BSC的一個(gè)法向量為，則
所以
而與所成的角就是所求的二面角的平面角或其補(bǔ)角，所以
所以面與面所成二面角為�！�………14分