解:(1)由點(diǎn)Q為PN的中點(diǎn),GQ⊥PN可得:|GP|=|GN|,∴|GM|+|GN|=|MP|=
,而M(-1,0),N(1,0),|MN|=2.
∴|GM|+|GN|>|MN|,∴點(diǎn)G的軌跡是以點(diǎn)M、N為焦點(diǎn)、2
為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,其方程為
.
(2)假設(shè)存在,如圖所示:
∵
,EN⊥AB,∴k
AB=1,即k=1,
∴直線l的方程為y=x+m,設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2).
聯(lián)立
,消去y化為3x
2+4mx+2m
2-2=0,
∵直線l與橢圓C相較于不同的A、B兩點(diǎn),
∴△=16m
2-12(2m
2-2)>0,化為
.(*)
由根與系數(shù)的關(guān)系可得:
,
.(**)
∵
=(1-x
1,-y
1),
=(-x
2,1-y
2),
∴
=x
1x
2-x
2+y
1y
2-y
1,
∵AN⊥BE,∴x
1x
2-x
2+y
1y
2-y
1=0,又y
1=x
1+m,y
2=x
2+m,
∴x
1x
2-x
2+(x
1+m)(x
2+m)-(x
1+m)=0,化為2x
1x
2+(m-1)(x
1+x
2)+m
2-m=0,
把(**)代入得
,化為3m
2+m-4=0,
解得m=
或1.
當(dāng)m=1時(shí),點(diǎn)E與B重合,應(yīng)舍去.
又
也滿足(*),故
.
分析:(1)利用橢圓的定義即可得出;
(2)利用垂心的性質(zhì)可求出直線AB的斜率,把直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系及垂心的性質(zhì)即可求出直線AB的方程,進(jìn)行判斷即可.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握橢圓的定義、三角形垂心的性質(zhì)、直線的點(diǎn)斜式、直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.