Question

已知動點M（x，y）到兩定點F₁（0，2）、F₂，（0，-2）距離之和為8．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A，B兩點，若OA⊥OB，求出直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于8＞|F₁F₂|=4，可得點M（x，y）的軌跡C為橢圓，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．c=2，2a=8，利用b²=a²-c²即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得（4+3k²）x²+18kx-21=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系．由于OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0．把根與系數(shù)的關(guān)系代入解出即可．

解答： 解：（1）∵8＞|F₁F₂|=4，
∴點M（x，y）的軌跡C為橢圓，
設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
則a=4，c=2，b²=a²-c²=12．
∴點M（x，y）的軌跡C的方程為：

y2

16

+

x2

12

=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

，化為（4+3k²）x²+18kx-21=0，
△=（18k）²+84（4+3k²）＞0，
∴x₁+x₂=

-18k

4+3k2

，x1x2=

-21

4+3k2

．
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+3）（kx₂+3）=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0．
代入可得

-21(1+k2)

4+3k2

-

54k2

4+3k2

+9=0，化為k2=

5

16

．
解得k=±

5

4

．
∴直線l的方程為：y=±

5

4

x+3．

點評：本題考查了直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．