Question

對于定義在實(shí)數(shù)集上的兩個函數(shù)，若存在一次函數(shù)使得，對任意的，都有，則把函數(shù)的圖像叫函數(shù)的“分界線”。現(xiàn)已知（，為自然對數(shù)的底數(shù)），
（1）求的遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時，函數(shù)是否存在過點(diǎn)的“分界線”？若存在，求出函數(shù)的解析式，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）若遞增區(qū)間為，若遞增區(qū)間為，若，則遞增區(qū)間為若遞增區(qū)間為（2）存在函數(shù)的圖像是函數(shù)過點(diǎn)的“分界線”。

試題分析：（1），
由得
①若，則，此時的遞增區(qū)間為；
②若，則或，此時的遞增區(qū)間為；
③若，則的遞增區(qū)間為；
④若，則或，此時的遞增區(qū)間為。
（2）當(dāng)時，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使不等式對恒成立，
由得到對恒成立，
則，得，
下面證明對恒成立。
設(shè)，，，
且時，，，
時，，
所以，即對恒成立。
綜上，存在函數(shù)的圖像是函數(shù)過點(diǎn)的“分界線”。
點(diǎn)評：第一小題求單調(diào)區(qū)間針對于不同的值對應(yīng)不同的極值點(diǎn)，因此需對值分情況討論以求單調(diào)性；第二問在正確理解給定信息的基礎(chǔ)上將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，可利用導(dǎo)數(shù)這一工具求解