Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-a，g（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+$\frac{16}{3}$．
（1）討論f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a的討論，求出函數(shù)的極小值，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的最值，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a＜0時(shí)，由e^x=a（x+1），考查y=e^x與y=a（x+1）的圖象知只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=e^x-a=0，x=lna，f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=-alna，
若a＞1，f（lna）=-alna＜0，有兩個(gè)零點(diǎn)，
若a=1，f（lna）=0，有一個(gè)零點(diǎn)，
若0＜a＜1，f（lna）＞0，無(wú)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a＜0或a=1時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0≤a＜1時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a＞1時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（6分）
（2）由已知當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）_min≥g（x）_min．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=e^x-a＞0，f（x）_min=f（-1）=$\frac{1}{e}$，
g′（x）=（x-1）（x-3），g（x）在[-1，1]上遞增，
在[1，2]上遞減，g（-1）=0，g（2）=6，g（x）_min=0，f（x）_min≥g（x）_min．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=e^x-a=0，x=lna，f（x）在（-∞，lna）上遞減，在（lna，+∞）上遞增．
若lna≤-1即0＜a≤$\frac{1}{e}$，f（x）_min=f（-1）=$\frac{1}{e}$，滿(mǎn)足f（x）_min≥g（x）_min，
若-1＜lna＜2即$\frac{1}{e}$＜a＜e²，f（x）_min=f（lna）=-alna，由-alna≥0解得$\frac{1}{e}$＜a≤1，
若lna≥2即a≥e²，f（x）在[-1，2]上遞減，
f（x）_min=f（2）=e²-3a＜0，不滿(mǎn)足條件．
綜上可知a的取值范圍是（-∞，1]．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，是中檔題．