Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定長(zhǎng)為3的線段兩端點(diǎn)、分別在軸，軸上滑動(dòng)，在線段上，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與軌跡交于點(diǎn)，，直線，的斜率分別記為，.

①求證：；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）2.5

【解析】

設(shè)，，，根據(jù)，可得，，再根據(jù)，即可求出軌跡方程，因?yàn)橹本�OP：，OQ：，與圓R相切，推出，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理推出結(jié)合點(diǎn)在橢圓C上，證明．當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)，，通過(guò)，推出，利用，，在橢圓C上，推出，即可求出的最大值．

設(shè)，，，

．

，

，，

，，

，

，

即，

證明：直線OP：，OQ：，與圓相切，

直線OP：與圓M：聯(lián)立，

可得

同理，

由判別式為0，可得，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

，

點(diǎn)在橢圓C上，所以，

；

當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)，，

，

，即，

，在橢圓C上，

，

整理得，

．

當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有，

綜上：

，

的最大值為．