Question

2．某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研究新產(chǎn)品成功的概率分別為$\frac{3}{4}$和$\frac{3}{5}$，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．
（1）求恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；
（2）若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤120萬元，不成功則會(huì)虧損50萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，企業(yè)可獲得利潤100萬元，不成功則會(huì)虧損40萬元，求該企業(yè)獲利ξ萬元的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件A，利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式可得P（A）=（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）．
（2）由題可得設(shè)企業(yè)可獲得利潤為ξ，則X的取值有-90，50，80，220．由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得，P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{3}{5}$），P（X=50）=$（1-\frac{3}{4}）$×$\frac{3}{5}$，P（X=80）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{5}）$，
P（X=220）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$．

解答 解：（1）設(shè)恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件A，則
P（A）=（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{9}{20}$．
（2）由題可得設(shè)企業(yè)可獲得利潤為ξ，則X的取值有-90，50，80，220．
由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得，P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$，
P（X=50）=$（1-\frac{3}{4}）$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=80）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{3}{10}$，
P（X=220）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$．
∴ξ的分布列如下：

X	-90	50	80	220
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{9}{20}$

則數(shù)學(xué)期望E（X）=$-90×\frac{1}{10}$+50×$\frac{3}{20}$+$80×\frac{3}{10}$+220×$\frac{9}{20}$=121.5萬元．

點(diǎn)評 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．