Question

若一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}是調(diào)和數(shù)列，對(duì)于各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{x_n}，滿足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）把數(shù)列{x_n}中所有項(xiàng)按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)三角形數(shù)表，當(dāng)x₃=8，x₇=128時(shí)，求第m行各數(shù)的和；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的數(shù)列{x_n}，證明：

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

+…+

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．設(shè)a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，有

2p

an+1

=

p

an

+

p

an+2

，由此導(dǎo)出x_n+1²=x_nx_n+2，所以數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由題意知{x_n}的公比為q=2．x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．由此能夠推導(dǎo)出第m行各數(shù)的和為Sm=

2 m2-m+2 2 (2m-1)

2-1

=2

m2-m+2

2

(2m-1)．
（Ⅲ）由x_n=2ⁿ，知

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

．所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．
由此入手能夠?qū)С?span id="zb1r1jf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．

解答：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?span id="plj5pbd" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

x

an n

=

x

an+1 n+1

=

x

an+2 n+2

，且數(shù)列{x_n}中各項(xiàng)都是正數(shù)，
所以a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．
設(shè)a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，①
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是調(diào)和數(shù)列，故a_n≠0，

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

．
所以，

2p

an+1

=

p

an

+

p

an+2

．②
由①得

p

an

=lgxn，

p

an+1

=lgxn+1，

p

an+2

=lgxn+2，代入②式得，
所以2lgx_n+1=lgx_n+lgx_n+2，即lgx_n+1²=lg（x_nx_n+2）．
故x_n+1²=x_nx_n+2，所以數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列．（5分）
（Ⅱ）設(shè){x_n}的公比為q，則x₃q⁴=x₇，即8q⁴=128．由于x_n＞0，故q=2．
于是x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．
注意到第n（n=1，2，3，）行共有n個(gè)數(shù)，
所以三角形數(shù)表中第1行至第m-1行共含有1+2+3++(m-1)=

m(m-1)

2

個(gè)數(shù)．
因此第m行第1個(gè)數(shù)是數(shù)列{x_n}中的第

m(m-1)

2

+1=

m2-m+2

2

項(xiàng)．
故第m行第1個(gè)數(shù)是x

m2-m+2

2

=2

m2-m+2

2

，
所以第m行各數(shù)的和為Sm=

2 m2-m+2 2 (2m-1)

2-1

=2

m2-m+2

2

(2m-1)．（9分）
（Ⅲ）因?yàn)閤_n=2ⁿ，所以

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

．
所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．
又

xk-1

xk+1-1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

•

1

2k

（k=1，2，3，，n），
所以

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

≥(

1

2

+

1

2

++

1

2

)-

1

3

[

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n]
=

n

2

-

1

3

•

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

n

2

-

1

3

•[1-(

1

2

)n]＞

n

2

-

1

3

．
所以

n

2

-

1

3

＜

x1-1

x2-1

+

x2-1

x3-1

++

xn-1

xn+1-1

＜

n

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，難度較大，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件，靈活運(yùn)用公式．