Question

7．已知焦距為2$\sqrt{3}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁、上頂點為D，直線DF₁與橢圓C的另一個交點為H，且|DF₁|=7|F₁H|．求橢圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)|DF₁|=7|F₁H|=7m．D，F(xiàn)₁到準(zhǔn)線的距離為$\frac{7m}{e}$，$\frac{m}{e}$．利用直線的斜率，即可求出橢圓的方程．

解答 解：設(shè)|DF₁|=7|F₁H|=7m．D，F(xiàn)₁到準(zhǔn)線的距離為$\frac{7m}{e}$，$\frac{m}{e}$．
設(shè)直線DF₁的傾斜角為α，則cosα=$\frac{3}{4e}$．
∵tanα=$\frac{c}$，∴cosα=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4e}$，
∵c=$\sqrt{3}$，∴a=2．∴b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查橢圓的定義，屬于中檔題．