【題目】已知橢圓的離心率為,且點(diǎn)在橢圓.

(1)求橢圓的方程;

(2)若橢圓的焦點(diǎn)在軸上,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線、分別與橢圓交于點(diǎn)、點(diǎn),且,試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1);(2)直線與圓相離.證明見解析

【解析】

1)對橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論,并分別設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)離心率和橢圓過點(diǎn),分別求出對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)對點(diǎn),分成在坐標(biāo)軸上和不在坐標(biāo)軸上兩種情況分別求解,再利用點(diǎn)到直線的距離公式,判斷直線與圓的位置關(guān)系即可.

(1)①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時,設(shè)橢圓的方程為:,

,∴

將點(diǎn)代入可得,

∴橢圓的方程為:.

②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時,設(shè)橢圓的方程為:

可得,∴,

將點(diǎn)代入可得,,

∴橢圓的方程為:.

(2)直線與圓相離,

由(1)知,橢圓的方程為:,

當(dāng),在坐標(biāo)軸上時,容易求得直線與圓相離;

當(dāng),不在坐標(biāo)軸上時,設(shè)直線,則直線

聯(lián)立,可得,,∴,

聯(lián)立,可得,∴,

根據(jù)面積關(guān)系可得圓心到直線的距離的平方

∴直線與圓相離.

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