(2013•寶山區(qū)二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,nan+1=Sn+
n(n+1)3
.從{an}中抽出部分項ak1,ak2,…,akn,…,(k1<k2<…<kn<…)組成的數(shù)列{akn}是等比數(shù)列,設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,其中k1=1,n∈N*
(1)求a2的值;
(2)當(dāng)q取最小時,求{kn}的通項公式;
(3)求k1+k2+…+kn的值.
分析:(1)由已知:a1=2,nan+1=Sn+
n(n+1)
3
.令n=1即可得出;
(2)當(dāng)n≥2時,由
nan+1=Sn+
n(n+1)
3
(n-1)an=Sn-1+
n(n-1)
3
⇒nan+1-(n-1)an=an+
2
3
nan+1-an=
2
3
,(n=1時也成立)即可得出通項an
解法一:數(shù)列{an}是正項遞增等差數(shù)列,故數(shù)列{akn}的公比q>1,由k2=2,3,經(jīng)驗證不符合題意,應(yīng)舍去;若k2=4,則由a4=4得q=2,此時akn=2•2n-1組成等比數(shù)列,可求出kn;
解法二:設(shè)存在ak1ak2,…,akn,…(k1<k2<…<kn<…)組成的數(shù)列{akn}是等比數(shù)列,則
a
2
k2
=ak1ak3
,即[
2
3
(k2+2)]2=2×
2
3
(k3+2)⇒(k2+2)2=3(k3+2)
即可得出kn
(3)利用(2)求出的kn,利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
解答:解:(1)令n=1得1•a2=a1+
1•2
3
,即a2=a1+
2
3
,
又a1=2,∴a2=2+
2
3
=
8
3

(2)當(dāng)n≥2時,由
nan+1=Sn+
n(n+1)
3
(n-1)an=Sn-1+
n(n-1)
3
⇒nan+1-(n-1)an=an+
2
3
nan+1-an=
2
3
,由(1)可知:a2-a1=
2
3

∴?n∈N*,都有an+1-an=
2
3

∴數(shù)列{an}是以2為首項,
2
3
為公差的等差數(shù)列,∴an=
2
3
(n+2)

解法一:數(shù)列{an}是正項遞增等差數(shù)列,故數(shù)列{akn}的公比q>1,
若k2=2,則由a2=
8
3
,得q=
a2
a1
=
4
3
,此時ak3=2•(
4
3
)2=
32
9
,由
32
9
=
2
3
(n+2)
解得n=
10
3
∉N*
,所以k2>2,同理k2>3;
若k2=4,則由a4=4得q=2,此時akn=2•2n-1組成等比數(shù)列,
2•2n-1=
2
3
(m+2)
,3•2n-1=m+2,對任何正整數(shù)n,只要取m=3•2n-1-2,即akn是數(shù)列{an}的第3•2n-1-2項.最小的公比q=2.
kn=3•2n-1-2
解法二:數(shù)列{an}是正項遞增等差數(shù)列,故數(shù)列{akn}的公比q>1,
設(shè)存在ak1ak2,…,akn,…(k1<k2<…<kn<…)組成的數(shù)列{akn}是等比數(shù)列,
a
2
k2
=ak1ak3
,即[
2
3
(k2+2)]2=2×
2
3
(k3+2)⇒(k2+2)2=3(k3+2)

∵k2、k3∈N*且k2>1所以k2+2必有因數(shù)3,即可設(shè)k2+2=3t,t≥2,t∈N,
當(dāng)數(shù)列{akn}的公比q最小時,即k2=4,⇒q=2最小的公比q=2.∴kn=3•2n-1-2
(3)由(2)可得從{an}中抽出部分項ak1,ak2,…,akn,…(k1<k2<…<kn<…)組成的數(shù)列{akn}是等比數(shù)列,其中k1=1,
那么{akn}的公比是q=
k2+2
3
,其中由解法二可得k2=3t-2,t≥2,t∈N.
akn=3•(
k2+2
3
)n-1=
2
3
(kn+2)
kn=3•(
k2+2
3
)n-1-2

kn=3•(
3t-2+2
3
)n-1-2
kn=3•tn-1-2,t≥2,t∈N
所以k1+k2+…+kn=3(1+t+t2+…+tn-1)-2n=3•tn-2n-3
點評:熟練掌握數(shù)列的通項與前n項和公式Sn之間的關(guān)系an=
S1,當(dāng)n=1時
Sn-Sn-1,當(dāng)n≥2時
,等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式事件他的關(guān)鍵.
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