Question

設復數z=3cosθ+isinθ．求函數y=tg（θ-argz）（0＜θ＜

π

2

）的最大值以及對應的θ值．

Answer 1

分析：由z=3cosθ+isinθ求得tg（argz）=

sinθ

3cosθ

=

1

3

tgθ，再由兩角差的正切建立關于tgθ的函數，y=tg（θ-argz）=

tgθ- 1 3 tgθ

1+ 1 3 tg2θ

=

2

3 tgθ +tgθ

，再由基本不等式法求解．

解答：解：由0＜θ＜

π

2

得tgθ＞0．
由z=3cosθ+isinθ得tg（argz）=

sinθ

3cosθ

=

1

3

tgθ．（3分）
故y=tg（θ-argz）=

tgθ- 1 3 tgθ

1+ 1 3 tg2θ

（6分）=

2

3 tgθ +tgθ

∵

3

tgθ

+tgθ≥2

3

，
∴

2

3 tgθ +tgθ

≤

3

3

．（9分）
當且僅當

3

tgθ

=tgθ（0＜θ＜

π

2

）時，即tgθ=

3

時，上式取等號．
所以當θ=

π

3

時，函數y取得最大值

3

3

．（12分）

點評：本小題主要考查復數的基本概念、三角公式和不等式等基礎知識，考查綜合運用所學數學知識解決問題的能力．