已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是
π
2
，
π
2
，
π
3
，則OB與平面ABC所成的角是（　�。�
分析：由題意，球的半徑為1，根據(jù)A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是
π
2
，
π
2
，
π
3
，可得∠AOB=
π
2
，∠AOC=
π
2
，∠BOC=
π
2
，
π
3
，從而可求AB=AC=
2
，BC=1，可求VA-OBC=
1
3
×
3
4
×1=
3
12
，利用等體積法求出O到平面ABC的距離，即可求得結(jié)論．
解答：解：由題意，∵球O的表面積為4π，
∴球的半徑為1，
∵A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是
π
2
，
π
2
，
π
3
，
∴∠AOB=
π
2
，∠AOC=
π
2
，∠BOC=
π
3
，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=
2
，BC=1．
∴VA-OBC=
1
3
×
3
4
×1=
3
12

設(shè)h為O到平面ABC的距離，則
∵S△ABC=
1
2
×1×
2-
1
4
=
7
4

∴VA-OBC=VO-ABC=
1
3
×
7
4
h=
3
12

∴h=
21
7

∴OA與平面ABC所成角的正弦值為
21
7

∴OB與平面ABC所成的角是arcsin
21
7

故選A．
點(diǎn)評：本題考查線面角，考查三棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是利用等體積求出點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且任意兩點(diǎn)間的球面距離為
π
2
，則OA與平面ABC所成角的正切值是
2
2
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•甘肅一模）（理科）已知球O的表面積為4π，A，B，C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C的球面距離均為
π
2
，|BC|=
3
，則球心O到平面ABC的距離為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年甘肅省高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：選擇題

（理科）已知球O的表面積為4π，A，B，C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C的球面距離均為，，則球心O到平面ABC的距離為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：月考題 題型：單選題

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是，，則OB與平面ABC所成的角是
[     ]
A．
B．
C．
D．

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