Question

如圖，在四棱錐 P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若F是BC上任一點(diǎn)，求證：AE⊥PF；
（Ⅱ）設(shè) AC、BD交于點(diǎn)O，求直線BO與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面是邊長為2和1的矩形，
側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中點(diǎn)，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，又PF?面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，，0）．
∴．
設(shè)，是平面EAC的一個(gè)法向量，則由
得即
取x=1得．
而，∴．
設(shè)直線BO與平面AEC所成角為α，則sinα=．
∴直線BO與平面AEC所成角的正弦值為．
分析：（Ⅰ）由題意先證明線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，即證明BC⊥平面PAB，然后證明AE⊥PF．
（Ⅱ）利用空間向量，由題意先建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角與該直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系即可得求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用線面垂直證明線線垂直這樣的轉(zhuǎn)換證明的方法；利用空間向量的方法求解線面角的知識(shí)．考查空間想象能力，計(jì)算能力．