Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作直線軸，點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓右頂點(diǎn)，直線BM交橢圓C于P

（1）求橢圓C的方程；

（2）求證：；

（3）試問(wèn)是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）4．

【解析】

試題（1）兩個(gè)獨(dú)立條件可解得兩個(gè)未知數(shù)：由離心率為得，由橢圓C過(guò)點(diǎn)得，即得，，則橢圓C的方程．（2）證明，一般從坐標(biāo)表示出發(fā)：先設(shè)，則，又由B,P,M三點(diǎn)關(guān)系可得，從而，也可設(shè)直線斜率表示點(diǎn)的坐標(biāo)（3）同（2）

試題解析：（1）∵橢圓C： 的離心率為，

∴，則，又橢圓C過(guò)點(diǎn)，∴． 2分

∴，，

則橢圓C的方程． 4分

（2）設(shè)直線BM的斜率為k，則直線BM的方程為，設(shè)，

將代入橢圓C的方程中并化簡(jiǎn)得：

， 6分

解之得，，

∴，從而． ８分

令，得，∴，． 9分

又＝， 11分

∴，

∴． 13分

（3）=．

∴為定值4． 16分