【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形,底面,,,,.
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè)為上一點(diǎn),滿足,若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)由三角形的邊角關(guān)系可證,再由底面,可得.即可證明底面,由面面垂直的判定定理得證.
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間坐標(biāo)系,利用空間向量法求出二面角的余弦值.
解析:(1)證明:由,,,,,所以,又,
∴,
∴,
∴,
因?yàn)?/span>底面,底面,
∴.
因?yàn)?/span>,底面,底面,
底面,
底面,
所以面面.
(2)由(1)可知為與平面所成的角,
∴,∴,,由及,
可得,,
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間坐標(biāo)系,
則
,,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,,取,
設(shè)平面的法向量為,
則,,取,
所以,所以二面角余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,為邊的中點(diǎn).將△沿翻折,得到四棱錐.設(shè)線段的中點(diǎn)為,在翻折過(guò)程中,有下列三個(gè)命題:
① 總有平面;
② 三棱錐體積的最大值為;
③ 存在某個(gè)位置,使與所成的角為.
其中正確的命題是____.(寫出所有正確命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某日A, B, C三個(gè)城市18個(gè)銷售點(diǎn)的小麥價(jià)格如下表:
銷售點(diǎn)序號(hào) | 所屬城市 | 小麥價(jià)格(元/噸) | 銷售點(diǎn)序號(hào) | 所屬城市 | 小麥價(jià)格(元/噸) |
1 | A | 2420 | 10 | B | 2500 |
2 | C | 2580 | 11 | A | 2460 |
3 | C | 2470 | 12 | A | 2460 |
4 | C | 2540 | 13 | A | 2500 |
5 | A | 2430 | 14 | B | 2500 |
6 | C | 2400 | 15 | B | 2450 |
7 | A | 2440 | 16 | B | 2460 |
8 | B | 2500 | 17 | A | 2460 |
9 | A | 2440 | 18 | A | 2540 |
(Ⅰ)求B市5個(gè)銷售點(diǎn)小麥價(jià)格的中位數(shù);
(Ⅱ)甲從B市的銷售點(diǎn)中隨機(jī)挑選一個(gè)購(gòu)買1噸小麥,乙從C市的銷售點(diǎn)中隨機(jī)挑選一個(gè)購(gòu)買1噸小麥,求甲花費(fèi)的費(fèi)用比乙高的概率;
(Ⅲ)如果一個(gè)城市的銷售點(diǎn)小麥價(jià)格方差越大,則稱其價(jià)格差異性越大.請(qǐng)你對(duì)A、B、C三個(gè)城市按照小麥價(jià)格差異性從大到小進(jìn)行排序(只寫出結(jié)果).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題:齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬,現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽,齊王獲勝的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具,是由七塊板組成的.而這七塊板可拼成許多圖形,例如:三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動(dòng)物、建筑物等,清陸以湉《冷廬雜識(shí)》寫道:近又有七巧圖,其式五,其數(shù)七,其變化之式多至千余.在18世紀(jì),七巧板流傳到了國(guó)外,至今英國(guó)劍橋大學(xué)的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》.若用七巧板拼成一只雄雞,在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校為增加應(yīng)屆畢業(yè)生就業(yè)機(jī)會(huì),每年根據(jù)應(yīng)屆畢業(yè)生的綜合素質(zhì)和學(xué)業(yè)成績(jī)對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合評(píng)估,已知某年度參與評(píng)估的畢業(yè)生共有2000名,其評(píng)估成績(jī)近似的服從正態(tài)分布.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名畢業(yè)生的評(píng)估成績(jī)作為樣本,并把樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了分組,繪制了頻率分布直方圖:
(1)求樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若學(xué)校規(guī)定評(píng)估成績(jī)超過(guò)分的畢業(yè)生可參加三家公司的面試.
(。┯脴颖酒骄鶖(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,請(qǐng)利用估計(jì)值判斷這2000名畢業(yè)生中,能夠參加三家公司面試的人數(shù);
(ⅱ)若三家公司每家都提供甲、乙、丙三個(gè)崗位,崗位工資表如下:
公司 | 甲崗位 | 乙崗位 | 丙崗位 |
9600 | 6400 | 5200 | |
9800 | 7200 | 5400 | |
10000 | 6000 | 5000 |
李華同學(xué)取得了三個(gè)公司的面試機(jī)會(huì),經(jīng)過(guò)評(píng)估,李華在三個(gè)公司甲、乙、丙三個(gè)崗位的面試成功的概率均為,李華準(zhǔn)備依次從三家公司進(jìn)行面試選崗,公司規(guī)定:面試成功必須當(dāng)場(chǎng)選崗,且只有一次機(jī)會(huì).李華在某公司選崗時(shí),若以該崗位工資與未進(jìn)行面試公司的工資期望作為抉擇依據(jù),問(wèn)李華可以選擇公司的哪些崗位?
并說(shuō)明理由.
附:,若隨機(jī)變量,
則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)是( 。
①若“p∨q”為真命題,則“p∧q”為真命題;
②“a∈(0,+∞),函數(shù)y=在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”的否定;
③l為直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,若l⊥β,α⊥β,則l∥α;
④“x∈R,≥0”的否定為“R,<0”.
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,求的取值范圍,并證明.
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