Question

已知f（x）=2sinx-πl(wèi)nx，g（x）=2sinx-xlnx，且f（x）和g（x）的定義域都
是（0，π），下列命題：
（1）y=f（x）在其定義域上恰有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）y=g（x）在其定義域上恰有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若0＜x₁＜x₂＜π，則f（x₁）＞f（x₂）；
（4）若0＜x₁＜x₂＜π，則g（x₁）＜g（x₂）．
其中正確的是

 

（把所有正確命題的序號(hào)填在答題卡的相應(yīng)位置上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)零點(diǎn)的定義由f（x）=0和g（x）=0，分別作出對應(yīng)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（x）=2sinx-πl(wèi)nx=0得2sinx=πl(wèi)nx，
分別作出函數(shù)y=2sinx和y=πl(wèi)nx的圖象，由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在（0，π）內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，即y=f（x）在其定義域上恰有一個(gè)零點(diǎn)，故（1）正確；
由y=πl(wèi)nx=0，解得x=1，即當(dāng)0＜x＜1時(shí)，2sinx＞πl(wèi)nx，當(dāng)1＜x＜π，2sinx＜πl(wèi)nx，∴函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，故（3）錯(cuò)誤；
由g（x）=2sinx-xlnx=0得2sinx=xnx，
分別作出函數(shù)y=2sinx和y=xlnx的圖象（黑線部分），由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在（0，π）內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，即y=f（x）在其定義域上恰有一個(gè)零點(diǎn)，故（2）正確；由
設(shè)y=2sinx和y=xlnx的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，解得x=1，即當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，2sinx＞xlnx，當(dāng)x₀＜x＜π，2sinx＜xlnx，∴函數(shù)g（x）不是單調(diào)函數(shù)，故（4）錯(cuò)誤；
故正確的是（1）（2）
故答案為：（1）（2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．