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10.已知函數(shù)fx=3xa2x2+lnx,其中a為常數(shù).
(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍.

分析 (1)由a=1得f(x)的解析式,求導(dǎo),令f′(x)>0,令f′(x)<0分別得出x的取值范圍,即f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),得f′(x)≥0,分離出a,把右邊看為函數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)性得最值,得關(guān)于a的不等式,求解得a的取值范圍.

解答 解:(1)若a=1時,f(x)=3x-2x2+lnx,定義域?yàn)椋?,+∞)
f′(x)=1x-4x+3=4x+1x1x(x>0)
令f'(x)>0,得x∈(0,1),令f'(x)<0,得x∈(1,+∞),
函數(shù)f(x)=3x-2x2+lnx單調(diào)增區(qū)間為(0,1),
函數(shù)f(x)=3x-2x2+lnx單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞).
(2)f′(x)=3a-4x+1x,
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)增函數(shù),
即f′(x)=3a-4x+1x≥0在[1,2]恒成立,
3a≥4x-1x在[1,2]恒成立,
令h(x)=4x-1x,因函數(shù)h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.
所以3a≥h(2),故3a152,0<a≤25

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,和其逆問題,由單調(diào)性來確定導(dǎo)數(shù)非負(fù)或非正,分離參數(shù),利用函數(shù)的思想,求最值,得關(guān)于a的不等式.

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