Question

對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①在D內單調
遞增或單調遞減；②存在區(qū)間[]，使在[]上的值域為[]；那么把
()叫閉函數(shù)。
（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[]；
（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若函數(shù)是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）[-1，1]
（2）該函數(shù)不是閉函數(shù)
（3）

（1）由題意，在[]上遞減，則解得
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]        
（2）取則，即不是上的減函數(shù)。

取，
即不是上的增函數(shù)，
所以，函數(shù)在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。
（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域為[]，即，為方程的兩個實根，
即方程有兩個不等的實根。
當時，有，解得。當時，有，無解。                綜上所述，。