Question

一個(gè)袋中裝有大小相同的球10個(gè)，其中紅球8個(gè)，黑球2個(gè)，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機(jī)取1個(gè)． 求：
（Ⅰ）連續(xù)取兩次都是紅球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，則取球終止，否則繼續(xù)取球，直到取出黑球，但取球次數(shù)最多不超過4次，求取球次數(shù)ξ的概率分布列及期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）第一次和第二次取到紅球的概率都是

4

5

，由此能求出連續(xù)取兩次都是紅球的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，4，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）連續(xù)取兩次都是紅球的概率：P=

4

5

×

4

5

=

16

25

；…（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，4，
P(ξ=1)=

1

5

，
P(ξ=2)=

4

5

×

1

5

=

4

25

，
P(ξ=3)=(

4

5

)2×

1

5

=

16

125

，
P(ξ=4)=(

4

5

)3=

64

125

．
∴ξ的概率分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 5	4 25	16 125	64 125

Eξ=1×

1

5

+2×

4

25

+3×

16

125

+4×

64

125

=

369

125

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．