Question

給出下列命題
①若命題P和命題Q中只有一個是真命題，則?P或Q是假命題；
②α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos(α+β)≠

1

2

成立的必要不充分條件；
③若定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=1-f（x），則f（x）是周期函數(shù)；
④若

lim

n→∞

[1+(

r

1+r

)n]=1，則r的取值范圍是r＞-

1

2

．
其中所有正確命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：若命題P是假命題，命題Q是真命題，則￢P或Q是真命題；若α=

π

6

，且β=

π

6

⇒cos（α+β）=

1

2

，所以cos(α+β)≠

1

2

⇒α≠

π

6

或β≠

π

6

；由f（x+1）=1-f（x），知f（x+2）=1-f（x+1）=1-[1-f（x）]=f（x），故f（x）是周期函數(shù)；由

lim

n→∞

[1+(

r

1+r

)n]=1，知|

r

1+r

|＜1，解得r＞-

1

2

．

解答：解：若命題P是假命題，命題Q是真命題，則￢P或Q是真命題，故①不正確；
∵若α=

π

6

，且β=

π

6

⇒cos（α+β）=

1

2

，
∴cos(α+β)≠

1

2

⇒α≠

π

6

或β≠

π

6

，
所以α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos(α+β)≠

1

2

成立的必要不充分條件，故②正確；
∵f（x+1）=1-f（x），
∴f（x+2）=1-f（x+1）=1-[1-f（x）]=f（x），
∴若定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=1-f（x），
則f（x）是周期函數(shù)，故③正確；
∵

lim

n→∞

[1+(

r

1+r

)n]=1，
∴|

r

1+r

|＜1，解得r＞-

1

2

，故④成立．
故答案為：②③④．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，注意復合命題、三角函數(shù)、周期函數(shù)、極限等知識點的靈活運用．