Question

已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長為2，一條準(zhǔn)線l的方程為x=2．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長為定值．

Answer 1

分析：（1）由短軸和準(zhǔn)線方程求出b和a的值，據(jù)焦點(diǎn)在x軸上寫出橢圓的方程．
（2）用點(diǎn)斜式寫出FN的方程，再由ON⊥NM，斜率之積等于-1得到一個(gè)等式，把FN的方程代入等式化簡，
可得x²+y²=2，所以線段ON的長為定值

2

．

解答：解：（1）由題意知，b=1，

a2

c

=2，∴a=

2

，c=1，焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y²=1．
（2）證明：∵F（1，0），點(diǎn)M（2，m），F(xiàn)N的方程為：y-0=

-2

m

（x-1）①，
∵過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，
∴ON⊥NM，∴K_ON•K_NM=-1，
即

y

x

•

y-m

x-2

=-1，∴x²+y²=2x+my  ②，
把①代入②得：x²+y²=2x+my=2x+m•

-2

m

（x-1）=2，
∴|ON|=

x2+y2

=

2

，∴線段ON的長為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．